Triângulo de Sierpinsky

Representação do triângulo de Sierpinski.

O triângulo de Sierpinsky é um fractal no plano dos reais. Na figura em baixo pode ver-se uma representação do conjunto dos pontos que formam o triângulo de Sierpinski.

Este conjunto é auto-similar. Por auto-similar entende-se que partes do todo são semelhantes ao todo. Efectivamente, tal como é destacado na figura seguinte, o conjunto completo pode ser obtido através da união de três cópias apropriadamente escaladas e deslocadas do próprio conjunto.

Representação do triângulo de Sierpinski.

Se chamarmos $S$ ao conjunto dos pontos do triângulo de Sierpinski então podemos dizer que

$$S = T_1(S) \cup T_2(S) \cup T_3(S)$$

As funções $T_i : {\mathbb R}^2 \mapsto {\mathbb R}^2$ são transformações afim que realizam os escalamentos e as translações específicos para o triângulo de Sierpinski.

Uma transformação afim tem a forma

$$Tx = Ax + u$$

onde $A$ é uma aplicação linear (i. e. corresponde a uma matriz) e o vector $u$ é uma constante.

No caso do triângulo de Sierpinski as funções $T_i x = A_i x + u_i$ são caracterizadas da seguinte forma:

$$A_1 = A_2 = A_3 = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right]$$ $$u_1 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right] \qquad u_2 = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right] \qquad u_3 = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} \end{array} \right]$$

Existem outras formas de definir o triângulo de Sierpinski. Definamos a função $F : {\mathbb R}^2 \mapsto {\mathbb R}^2$ como

$$F(\Lambda) = T_1(\Lambda) \cup T_2(\Lambda) \cup T_3(\Lambda)$$

Então, de acordo com o que tinha atrás já sido exposto temos que o triângulo de Sierpinsky corresponde ao conjunto dos pontos $S$ onde $F(S)=S$ Ou seja, o triângulo de Sierpinsky é um ponto fixo da função $F$. Mas será que existe mesmo um ponto fixo da função $F$ definida desta forma? Sim, existe. Haveremos noutro artigo de ver com mais detalhe como tal pode ser confirmado. Para já fica a ideia de que a sucessão $$S_k = F(S_{k-1}), \qquad k \ge 1$$ converge quando o ponto inicial $S_0$ é um conjunto compacto e desde que a função $F$ seja uma contração. Esta forma de definir o triângulo de Sierpinsky tem a vantagem de nos permitir criar um procedimento para obter uma aproximação desse conjunto. As figuras seguintes representam os seis primeiros pontos da sucessão $S_k$ quando o ponto inicial é o quadrado unitário $S_0 = [0,1] \times [0,1]$.

As seis primeiras iterações da construção to Triângulo de Sierpinski.

Estas imagens foram geradas utilizando o Octave. Num futuro artigo veremos como tal foi conseguido.