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| Representação do triângulo de Sierpinski. |
Este conjunto é auto-similar. Por auto-similar entende-se que partes do todo são semelhantes ao todo. Efectivamente, tal como é destacado na figura seguinte, o conjunto completo pode ser obtido através da união de três cópias apropriadamente escaladas e deslocadas do próprio conjunto.
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| Representação do triângulo de Sierpinski. |
Se chamarmos \(S\) ao conjunto dos pontos do triângulo de Sierpinski então podemos dizer que
\[ S = T_1(S) \cup T_2(S) \cup T_3(S) \]As funções \(T_i : {\mathbb R}^2 \mapsto {\mathbb R}^2\) são transformações afim que realizam os escalamentos e as translações específicos para o triângulo de Sierpinski.
Uma transformação afim tem a forma
\[ Tx = Ax + u \]onde \(A\) é uma aplicação linear (i. e. corresponde a uma matriz) e o vector \(u\) é uma constante.
No caso do triângulo de Sierpinski as funções \(T_i x = A_i x + u_i\) são caracterizadas da seguinte forma:
\[ A_1 = A_2 = A_3 = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \] \[ u_1 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right] \qquad u_2 = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right] \qquad u_3 = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} \end{array} \right] \]Existem outras formas de definir o triângulo de Sierpinski. Definamos a função \(F : {\mathbb R}^2 \mapsto {\mathbb R}^2\) como
\[ F(\Lambda) = T_1(\Lambda) \cup T_2(\Lambda) \cup T_3(\Lambda) \]Então, de acordo com o que tinha atrás já sido exposto temos que o triângulo de Sierpinsky corresponde ao conjunto dos pontos \(S\) onde \(F(S)=S\) Ou seja, o triângulo de Sierpinsky é um ponto fixo da função \(F\). Mas será que existe mesmo um ponto fixo da função \(F\) definida desta forma? Sim, existe. Haveremos noutro artigo de ver com mais detalhe como tal pode ser confirmado. Para já fica a ideia de que a sucessão \[ S_k = F(S_{k-1}), \qquad k \ge 1 \] converge quando o ponto inicial \(S_0\) é um conjunto compacto e desde que a função \(F\) seja uma contração. Esta forma de definir o triângulo de Sierpinsky tem a vantagem de nos permitir criar um procedimento para obter uma aproximação desse conjunto. As figuras seguintes representam os seis primeiros pontos da sucessão \(S_k\) quando o ponto inicial é o quadrado unitário \(S_0 = [0,1] \times [0,1]\).
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| As seis primeiras iterações da construção to Triângulo de Sierpinski. | ||
