Neste artigo abordaremos resumidamente as figuras geométricas conhecidas como linha de Koch e ilha de Koch. O nome vem do matemático sueco Helge von Koch, que em 1904 referiu num artigo pela primeira vez a curva que é hoje conhecida como linha de Koch.
Linha de Koch
A linha de Koch é uma figura geométrica que nos será útil para definir a ilha de Koch. Consideremos a sequência de figuras que descrevemos em seguida. Partimos de um segmento horizontal, com uma unidade de comprimento.
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| Ponto de partida para a construção da linha de Koch. |
Começamos por dividir este segmento em três partes iguais e substituimos a parte do meio por outros dois segmentos correspondendo a dois lados de um triângulo equilátero. Este passo está ilustrado na figura em baixo. O comprimento de cada um destes 4 segmentos é 1/3 pelo que o comprimento da linha completa é de 4/3.
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| Primeira iteração da construção da linha de Koch. |
No segundo passo fazemos algo semelhante ao realizado no primeiro passo, agora para cada um dos 4 segmentos da figura. Cada segmento é dividido em três e a parte do meio substituida por outros dois segmentos formando dois lados de um triângulo equilátero. Se no primeiro passo a figura era composta por segmentos de comprimento 1/3 agora os segmentos são de comprimento 1/9 e o comprimento total passou a ser 16/9.
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| Segunda iteração da construção da linha de Koch. |
As figuras em baixo correspondem aos passos 3, 4 e 5 deste processo.
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| Iterações 3, 4 e 5 da construção da linha de Koch. | ||
Continuando com o mesmo procedimento em cada passo, no limite obtém-se a figura designada por linha de Koch. Assumimos, sem demonstração, que existe efectivamente o limite desta sucessão.
A linha de Koch tem, entre outras, as seguintes propriedades interessantes:
- É uma linha contínua.
- Não tem derivada em nenhum ponto. Tomamos aqui a linha como uma aplicação de \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\).
- Tem comprimento infinito.
É simples verificar que o comprimento da linha de Koch é infinito. De facto, se chamarmos \(L_n\) ao comprimento da figura do passo \(n\) tem-se que
\[ L_n = \frac{4}{3}L_{n-1} \]Como \(L_0=1\) então
\[ L_n = \left(\frac{4}{3}\right)^n, \]que é uma sucessão que cresce sem ter majorante. Ou seja, o comprimento da figura limite é infinito.
Ilha de Koch
A figura conhecida como ilha de Koch é obtida através de um procedimento semelhante ao usado para criar a linha de Koch, mas em vez de começar com um único segmento começa-se com um triângulo equilátero. As imagens em baixo representam as seis primeiras iterações do procedimento.
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| A figura inicial e as cinco primeiras iterações da construção da ilha de Koch. | ||
O perímetro da ilha de Koch é infinito. Tal acontece porque esta figura é constituida pela união de três versões idênticas, apropriadamente rodadas e deslocadas, da linha de Koch. No entanto a área da ilha de Koch é claramento limitada. Podemos mesmo calcular a área como o limite da sucessão das áreas das figuras intermédias.
A área da ilha de Koch pode ser obtida como o limite das áreas das figuras intermédias. Vamos então calcular a área \(A_n\) da figura do passo \(n\). A área da figura do passo \(n\) é dada pela soma da área da figura do passo \(n-1\) com as áreas dos pequenos triângulos que são adicionados à figura do passo \(n-1\) para obter a figura do passo \(n\).
Precisamos de saber quantos pequenos triângulos são acrescentados no passo \(n-1\) para obter a figura do passo \(n\). Precisamos também de saber o comprimento do lado desses pequenos triângulos, para calcular a respectiva área.
O número de pequenos triângulos que são acrecentados no passo \(n-1\) corresponde ao número de troços no passo \(n-1\). Chamemos \(c_n\) ao número de troços no passo \(n\). Tem-se então:
\[ c_0=3, \quad c_n=4c_{n-1} \qquad \Rightarrow \qquad c_n = 3\times 4^n \]O comprimento do lado dos pequenos triângulos que são acrescentados no passo \(n-1\) corresponde ao número de troços que existem no passo \(n\). Chamemos-lhe \(l_n\). Tem-se que:
\[ l_0=1, \quad l_n=\frac{1}{3}l_{n-1} \qquad \Rightarrow \qquad l_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n \]Chamemos \(a_n\) à área de cada um dos pequenos triângulos acrescentados no passo \(n-1\). Sendo a área a de um triângulo equilátero de lado \(l\) dada por \(a=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2\) teremos
\[ a_n = \frac{\sqrt{3}}{4} l_n^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{1}{9}\right)^n \]Com o que já foi dito temos
\[ A_n = A_{n-1} + c_{n-1}a_n \] \[ A_n = A_0 + \sum_{k=1}^n c_{k-1}a_k \] \[ A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{3}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{4}{9}\right)^n \right) \]No limite temos a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão \(\frac{4}{9}\). Sendo \(\sum_{k=0}^\infty = \frac{1}{1-r}\), ou \(\sum_{k=1}^\infty = \frac{r}{1-r}\), teremos finalmente a área \(A\) da ilha de Koch como \[ A = \lim A_n = \frac{2\sqrt{3}}{5} \]
Cólofon
As imagens PNG usadas neste artigo com os diferentes passos das iterações da linha de Koch e ilha de Koch foram geradas com Inkscape a partir de ficheiros SVG. Os ficheiros SVG com as figuras foram gerados a partir de um programa para geração de iterações de Sistemas-L escrito na linguagem de scripting Tea.
